题目内容
函数f（x）=2cos2x+sin2x-1，给出下列四个命题：
（1）函数在区间[
，
]上是减函数；
（2）直线x=
是函数图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=
sin2x的图象向左平移
而得到；
（4）若 x∈[0，
]，则f（x）的值域是[0，
]．
其中正确命题的个数是（ ）
（1）函数在区间[
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（2）直线x=
| π |
| 8 |
（3）函数f（x）的图象可由函数y=
| 2 |
| π |
| 4 |
（4）若 x∈[0，
| π |
| 2 |
| 2 |
其中正确命题的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：利用三角恒等变换可得f（x）=
sin（2x+
），
（1）利用正弦函数的单调性可求得其单调递减区间，从而可判断（1）；
（2）易求f（
）=
sin
=
，为其最大值，可判断（2）；
（3）利用三角平移变换可判断（3）；
（4）x∈[0，
]⇒（2x+
）∈[
，
]，利用正弦函数的单调性可求得sin（2x+
）∈[
，1]，从而可判断（4）．
| 2 |
| π |
| 4 |
（1）利用正弦函数的单调性可求得其单调递减区间，从而可判断（1）；
（2）易求f（
| π |
| 8 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2 |
（3）利用三角平移变换可判断（3）；
（4）x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
解答：
解：f（x）=2cos2x+sin2x-1=cos2x+sin2x=
sin（2x+
），
对于（1），由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
得：kπ+
≤x≤kπ+
（k∈Z），
所以，y=f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z），
而[
，
]?[kπ+
，kπ+
]，故（1）正确；
对于（2），因为f（
）=
sin
=
，为其最大值，故直线x=
是函数图象的一条对称轴，（2）正确；
对于（3），y=
sin2x的图象向左平移
而得到y=
sin2（x+
）的图象，而不是y=
sin（2x+
）的图象，（3）错误；
对于（4），x∈[0，
]，（2x+
）∈[
，
]，sin（2x+
）∈[
，1]，
sin（2x+
）∈[1，
]，即f（x）的值域是[1，
]，（4）错误；
故选：B．
| 2 |
| π |
| 4 |
对于（1），由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
所以，y=f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
而[
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
对于（2），因为f（
| π |
| 8 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 8 |
对于（3），y=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
对于（4），x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| 2 |
故选：B．
点评：本题考查三角函数的恒等变换与正弦函数的图象与性质，突出考查正弦函数的单调性、对称性及闭区间上的值域，属于中档题．
练习册系列答案
冲刺100分1号卷系列答案
相关题目
已知f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且f（x+4）=f（x） 当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2011）=（ ）
| A、98 | B、-98 | C、2 | D、-2 |
甲、乙两人参加知识竟赛，共有10个不同的题目，其中选择题6题，判断题4题，若甲乙两人分别各抽取一题，则甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在同一坐标系中，函数y=2-x与函数y=log2x的图象可能是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、y=
| ||
B、y=（
| ||
| C、y=x（x∈R） | ||
| D、y=-x3（x∈R） |