Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证：不论a为何实数f（x）在定义域内总是增函数；
（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x∈R，分母2^x+1有意义，即可得出；
（2）利用增函数的定义即可证明；
（3）利用奇函数的定义即可得出．

解答： （1）解：当x∈R，分母2^x+1有意义，∴函数f（x）=a-

2

2x+1

的定义域为R．
（2）证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由x₁＜x₂可知0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当a取任意实数，f（x）都为其定义域上的增函数．
（3）解：假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（-x）=-f（x），得a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

解得a=1．
∴存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、定义域，考查了计算能力，属于基础题．