Question

若函数f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）在R上是增函数，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求f′（x），根据已知条件知，f′（x）＞0，这样便可得到关于a的不等式：（a-1）lna＞0，解该不等式即得实数a的取值范围．还可根据指数函数的单调性及增函数的定义分a＞1，和0＜a＜1去求a的取值范围即可．

解答： 解：根据题意知：f′（x）=（a-1）lna（a^x+a^-x）＞0；
∴（a-1）lna＞0，解得a＞1，或0＜a＜1；
∴实数a的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．
方法2：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据f（x）在R上是增函数得：
f(x1)-f(x2)=(a-1)(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)=(a-1)(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)＜0；
∴(a-1)(ax1-ax2)＜0；
若a＞1，由x₁＜x₂得ax1＜ax2，所以能得到（a-1）(ax1-ax2)＜0；
若0＜a＜1，则ax1＞ax2，所以能得到（a-1）（ax1-ax2）＜0；
∴综上得a的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，而对f（x）正确求导是求解本题的关键，以及指数函数的单调性及单调性的定义．