Question

6．命题p：直线y=kx+3与圆x²+y²=1相交于A，B两点；命题q：曲线$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：直线y=kx+3与圆x²+y²=1相交于A，B两点，可得圆心到直线的距离$d=\frac{{|{k•0-0+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜1$，解得k范围．命题q：曲线$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦在y轴上的双曲线，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-6＜0}\\{k＜0}\end{array}\right.$，解得k范围．由于p∧q为真命题，可得p，q均为真命题，即可得出．

解答 解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x²+y²=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离$d=\frac{{|{k•0-0+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜1$，∴$k＞2\sqrt{2}或k＜-2\sqrt{2}$，（5分）
∵命题q：曲线$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦在y轴上的双曲线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-6＜0}\\{k＜0}\end{array}\right.$，解得k＜0，（10分）
∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞2\sqrt{2}或k＜-2\sqrt{2}}\\{k＜0}\end{array}\right.$，
解得k＜-2$\sqrt{2}$．（13分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．