Question

F为抛物线y²=2px （p＞0）的焦点，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，l₁，l₂分别是该抛物线在A，B两点处的切线，l₁，l₂相交于点C，设|AF|=a，|BF|=b，则|CF|=（　　）

• A、

  a+b

• B、

  a+b

  2

• C、

  a2+b2

• D、

  ab

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,圆锥曲线的共同特征

专题：计算题,导数的概念及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对y²=2px （p＞0）两边对x求导数，则y′=

p

y

．设A（m，n），B（s，t），得到直线l₁，l₂的斜率，求出它们的切线方程，求出它们的交点，设AB：x=ky+

p

2

，代入抛物线方程，消去x得，y²-2pky-p²=0，运用韦达定理，从而得到l₁⊥l₂，求出直线CF的斜率，得到直线AB与直线CF垂直，再由直角三角形的射影定理，即可得到答案．

解答： 解：对y²=2px （p＞0）两边对x求导数，得到2yy′=2p，则y′=

p

y

．
设A（m，n），B（s，t），则切线l₁的斜率为

p

n

，切线l₂的斜率为

p

t

，
设AB：x=ky+

p

2

，代入抛物线方程，消去x得，y²-2pky-p²=0，
则n+t=2pk，nt=-p²，
则

p

n

•

p

t

=-1，即有l₁⊥l₂，
又l₁：y-n=

p

n

（x-m），即有ny=px+pm，
同理可得l₂：ty=px+ps，
由于n²=2pm，t²=2ps，
则由l₁，l₂解得交点C（-

p

2

，

n+t

2

），即（-

p

2

，pk），
则CF的斜率为：

pk-0

- p 2 - p 2

=-k，
故直线AB与直线CF垂直，
在直角三角形ABC中，CF是斜边AB上的高，则由射影定理可得，CF²=AF•BF，
即有CF=

AF•BF

=

ab

，
故选D．

点评：本题考查导数的概念和运用，考查切线方程的求法，考查两直线的位置关系，以及直角三角形的射影定理，具有一定的难度．