Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向地能求出当E为PC中点时，PD⊥平面ABE．
（Ⅱ）求出平面PCD的一个法向量和平面PAD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵PC=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}AC$，∴PA⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，
以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设PA=2，
则B（2，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），P（0，0，2）．（2分）
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，故PD⊥AB，
设$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$，
∵AE⊥PD，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，即$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PD}+λ\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=0，
即-4+λ•8=0，即$λ=\frac{1}{2}$，即当E为PC中点时，AE⊥PD，
则PD⊥平面ABE．所以当E为PC中点时，PD⊥平面ABE．…（6分）
（Ⅱ）设平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，-2）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\frac{4\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
再取平面PAD的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．…（9分）
则cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．