Question

6．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₅=2，a_n-1+a_n+1=a₅a_n（n≥2）且a₃是a₁与-$\frac{8}{5}$的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁为整数，b_n=$\frac{n}{（2{S}_{n}+23n）（n+1）}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据a₅=2，a_n-1+a_n+1=a₅a_n（n≥2）且a₃是a₁与-$\frac{8}{5}$的等比中项得到首项和公差，得到通项公式．
（2）由（1）得到S_n，整理数列{b_n}，利用通项公式特点，利用裂项求和即可．

解答 解：（1）∵a₅=2，a_n-1+a_n+1=a₅a_n（n≥2），
∴a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）∴数列{a_n}为等差数列．
设数列{a_n}的公差为d．∵a₃是a₁与-$\frac{8}{5}$的等比中项，∴a₃²=a₁•-$\frac{8}{5}$．
∴（2-2d）²=-$\frac{8}{5}$（2-4d）
∴（5d-3）（d-3）=0
∴d=$\frac{3}{5}$或d=3．
当d=$\frac{3}{5}$时，a_n=$\frac{3}{5}n$-1．
当d=3时，a_n=3n-13．
（2）若a₁为整数，则a_n=3n-13，
∴${S}_{n}=\frac{n（3n-23）}{2}$，
∴2S_n+23n=3n²，
b_n=$\frac{n}{（2{S}_{n}+23n）（n+1）}$=$\frac{1}{3n（n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
数列{b_n}前n项和T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-$…$+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{3}×$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{3n+3}$．

点评 本题考查了数列的递推关系式以及利用公式法和裂项对数列求和；关键是正确利用等差中项和等比中项求出数列的通项公式．