Question

1．已知f（x）=sinωx-cosωx（ω＞$\frac{1}{4}$，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{8}$，$\frac{11}{12}$]∪[$\frac{11}{8}$，$\frac{19}{12}$]
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{12}$]∪[$\frac{7}{8}$，$\frac{11}{12}$]
• D． （$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{9}{8}$，$\frac{17}{12}$]

Answer 1

分析 由题意可得，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$≥3π-2π=π，求得$\frac{1}{4}$＜ω≤1，故排除A、D．检验当ω=$\frac{11}{12}$时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{11}{12}$x-$\frac{π}{4}$）满足条件，故排除B，从而得出结论．

解答 解：f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞$\frac{1}{4}$，x∈R），
若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），
则$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$≥3π-2π=π，ω≤1，即$\frac{1}{4}$＜ω≤1，故排除A、D．
当ω=$\frac{11}{12}$时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{11}{12}$x-$\frac{π}{4}$），
令$\frac{11}{12}$x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=$\frac{12}{11}$kπ+$\frac{9π}{11}$，可得函数f（x）的图象的对称轴为  x=$\frac{12}{11}$kπ+$\frac{9π}{11}$，k∈Z．
当k=1时，对称轴为 x=$\frac{21π}{11}$＜2π，当k=2时，对称轴为 x=$\frac{33π}{11}$=3π，
满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），故排除B，
故选：C．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题．