Question

20．设正数x，y满足x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 构造思想，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由题意x＞0，y＞0，
x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（1+{y}^{2}）}=\sqrt{{x}^{2}•2（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}（\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}）}$$≤\sqrt{2}×\frac{{x}^{2}+\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}}{2}$，
∵x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$$≤\sqrt{2}×\frac{{x}^{2}+\frac{1}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}}{2}$=$\sqrt{2}×\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$
故x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故选D．

点评 本题考查了构造思想，凑出已知条件以及基本不等式的性质．属于中档题．