Question

已知

a

=（-sinωx-cosωx，2

3

cosωx），

b

=（-sinωx+cosωx，sinωx），设函数f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的图象关于（

7π

10

，λ）对称，其中λ，ω为常数，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期T； 
（2）函数过（

π

4

，0）求函数在[0，

3π

5

]上取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形

分析：（1）利用平面向量的数量积表示出函数解析式，利用倍角公式和两角和公式化简整理，利用函数关于点对称推断出sin（2ωx-

π

6

）=0进而求得ω，最后利用周期公式求得最小正周期．
（2）把点（

π

4

，0）代入函数解析式求得λ，进而利用x的范围确定sin（

5π

3

x-

π

6

）的范围，进而求得函数f（x）的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

+λ=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
∵函数图象关于（

7π

10

，λ）对称，
∴sin（2ω×

7π

10

-

π

6

）=0，即2ω•

7π

10

-

π

6

=kπ，ω=

5

7

k+

5

42

，k∈Z，
∵ω∈（

1

2

，1），取k=1时，ω=

5

6

，
∴T=

2π

2× 5 6

=

6π

5

．
（2）∵函数过（

π

4

，0），
∴f（

π

4

）=2sin（

5

6

×

π

2

-

π

6

）+λ=0，
∴λ=-2sin（

5

6

×

π

2

-

π

6

）=-2sin

π

4

=-

2

．
∵x∈[0，

3π

5

]，
∴-

π

6

≤

5

3

x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1-

2

≤2sin（

5π

3

x-

π

6

）-

2

≤2-

2

，
∴函数在[0，

3π

5

]上取值范围为[-1-

2

，2-

2

]

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．在解决三角函数问题时，可结合三角函数的图象来解决．