Question

在数列{a_n}，{b_n}中，已知a₁=2，b₁=4，且a_n，-b_n，a_n+1成等差数列，b_n，-a_n，b_n+1也成等差数列．
（1）求证：{a_n+b_n}是等比数列；
（2）设m是不超过100的正整数，求使

an-m

an+1-m

=

am+4

am+1+4

成立的所有数对（m，n）．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：计算题,证明题

分析：（1）由已知可得，-2b_n=a_n+a_n+1，-2a_n=b_n+b_n+1，两式相加得，a_n+1+b_n+1=-3（a_n+b_n），得证{a_n+b_n}是以6为首项、-3为公比的等比数列．
（2）由（1）知，an+bn=6×(-3)n-1，a_n+1-b_n+1=a_n-b_n=-2，两式相加得an=

6×(-3)n-1-2

2

=3×(-3)n-1-1，代入

3×(-3)n-1-1-m

3×(-3)n-1-m

=

3×(-3)m-1+3

3×(-3)m+3

，整理得m+1=（-3）^n-m+1由m是不超过100的正整数，可得2≤（-3）^n-m+1≤101，满足题意的所有数对（m，n）为（8，9），（80，83）．

解答： 解：（1）由a_n，-b_n，a_n+1成等差数列可得，-2b_n=a_n+a_n+1，①
由b_n，-a_n，b_n+1成等差数列可得，-2a_n=b_n+b_n+1，②
①+②得，a_n+1+b_n+1=-3（a_n+b_n），
所以{a_n+b_n}是以6为首项、-3为公比的等比数列．        …（4分）
（2）由（1）知，an+bn=6×(-3)n-1，③
①-②得，a_n+1-b_n+1=a_n-b_n=-2，④
③+④得，an=

6×(-3)n-1-2

2

=3×(-3)n-1-1，…（8分）
代入

an-m

an+1-m

=

am+4

am+1+4

，得

3×(-3)n-1-1-m

3×(-3)n-1-m

=

3×(-3)m-1+3

3×(-3)m+3

，
所以[3×（-3）^n-1-1-m][3×（-3）^m+3]=[3×（-3）ⁿ-1-m][3×（-3）^m-1+3]，
整理得，（m+1）（-3）^m+3×（-3）ⁿ=0，
所以m+1=（-3）^n-m+1，…（12分）
由m是不超过100的正整数，可得2≤（-3）^n-m+1≤101，
所以n-m+1=2或4，
当n-m+1=2时，m+1=9，此时m=8，则n=9，符合题意；
当n-m+1=4时，m+1=81，此时m=80，则n=83，符合题意．
故使

an-m

an+1-m

=

am+4

am+1+4

成立的所有数对（m，n）为（8，9），（80，83）．    …（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和等比关系的确定，解题时要注意构造法的合理运用和分类讨论思想的合理运用．