Question

已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为

1

27

．
（1）求抛掷这一枚质地不均匀的硬币三次，仅有一次正面朝上的概率；
（2）抛掷这一枚质地不均匀的硬币三次后，再抛掷另一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）由硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为

1

27

，设出掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为r，由独立重复试验公式列出方程，解方程得到r的值．再由独立重复试验公式得到结果．
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0、1、2、3、4，根据独立重复试验公式得到结果，写出分布列，算出期望．

解答： 解：（1）设掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为r，
则依题意有：

C

3 3

•r3=

1

27

．
可得r=

1

3

．
∴抛掷这一枚质地不均匀的硬币三次，仅有一次正面朝上的概率为

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2=

4

9

；
（2）由题设知ξ的取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 3

•(

2

3

)3•

1

2

=

4

27

，
P（ξ=1）=

C

0 3

•(

2

3

)3•

1

2

+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

2

=

10

27

，
P（ξ=2）=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

2

+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

2

=

9

27

，
P（ξ=3）=

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

2

+

C

3 3

•(

1

3

)3•

1

2

=

7

54

，
P（ξ=4）=

C

3 3

•(

1

3

)3•

1

2

=

1

54

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	4 27	10 27	9 27	7 54	1 54

∴Eξ=0×

4

27

+1×

10

27

+2×

9

27

+3×

7

54

+4×

1

54

=

3

2

．

点评：本题考查独立重复试验概率公式的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．