Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

4

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求出{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，设{b_n}的公比为q，则b₁qd=b₁，d=4，求出{b_n}的通项公式；
（2）由（1）求出cn=

4

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]通过裂项相消的方法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2
；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，…（3分）
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，
即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差数列．
设{b_n}的公比为q，
则b₁qd=b₁，d=4，
∴q=

1

4

．
故bn=b1qn-1=2×

1

4n-1

，即{bn}的通项公式为bn=

2

4n-1

．…（6分）
（2）∵a_n=4n-2
∴cn=

4

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]…（8分）
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]…（10分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)                             …（11分）
=

n

2n+1

…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法、数列前n项和的求法；求和的关键是先求通项，据通项特点选择合适的方法，属于一道中档题．