Question

5．已知x＞$\frac{1}{2}$，则函数f（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}-2x+\frac{11}{4}}$的最小值是-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．

Answer 1

分析 令2x-1=t（t＞0），即x=$\frac{1}{2}$（t+1），即有函数即为$\frac{-4}{t+\frac{8}{t}-2}$，再由基本不等式和函数的单调性即可得到最小值．

解答 解：令2x-1=t（t＞0），即x=$\frac{1}{2}$（t+1），
即有函数y=$\frac{-t}{\frac{1}{4}（t+1）^{2}-（t+1）+\frac{11}{4}}$=$\frac{-4}{t+\frac{8}{t}-2}$，
由t+$\frac{8}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{8}{t}}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当t=2$\sqrt{2}$，即x=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$时，取得等号．
即有函数f（x）≥$\frac{-4}{4\sqrt{2}-2}$=-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．
故f（x）的最小值为-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．
故答案为：-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，应注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．