Question

16．在△ABC中，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，AB=2，AC=3，D为BC边上的中点，$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EB}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量减法的几何意义及数乘的运算便可由$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$得到$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，而根据D为BC中点可得到$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，然后进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$；
∴$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=2（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}）$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{4}{3}-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$
=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的运算及计算公式．