Question

17．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁C₁D₁，CDD₁C₁的中心，试用向量$\overrightarrow{{B}_{1}B}$，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$表示向量：
（1）$\overrightarrow{{B}_{1}C}$；
（2）$\overrightarrow{{B}_{1}D}$；
（3）$\overrightarrow{AE}$；
（4）$\overrightarrow{AF}$；
（5）$\overrightarrow{EF}$；
（6）判断向量$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{{B}_{1}C}$是否为共线向量？为什么？

Answer 1

分析 利用平面向量的加减法则及几何意义表示．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{B{{\;}_{1}C}_{1}}$；
（2）$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{B{{\;}_{1}C}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$；
（3）$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}E}$=-$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{{\;}_{1}C}_{1}}$=-$\overrightarrow{{B}_{1}B}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$；
（4）$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=$\overrightarrow{B{{\;}_{1}C}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}_{1}B}$；
（5）$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}_{1}B}$；
（6）∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=2$\overrightarrow{EF}$，∴向量$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{{B}_{1}C}$为共线向量．

点评 本题考查了平面向量加减法的三角形法则及几何意义，是基础题．