Question

10．在平行六面体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，点M是棱AA′的中点，点G在对角线A′C上，且CG：GA′=2：1，设$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{c}$，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CA′}$，$\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CG}$．

Answer 1

分析 由已知，结合向量加法的三角形法则，三点共线充要条件的向量表示法，可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CA′}$，$\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CG}$．

解答 解：如图所示：∵点G在对角线A′C上，且CG：GA′=2：1，
∴AG=$\frac{1}{3}$AC₁，
又∵M是棱AA′的中点，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CA′}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{{AA}_{1}}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$+c→，
$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CC′}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查的知识点是空间向量加法的三角形法则，空间向量的基本定理，难度不大，属于基础题．