Question

14．在锐角三角形中，角A，B，C，对边分别为a，b，c，若27（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）=104cosC，则$\frac{sinC•tanC}{sinA•sinB}$=$\frac{50}{27}$．

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理可得a²+b²=$\frac{52}{25}$c²，利用同角三角函数的基本关系，余弦定理化简所求，从而求得结果．

解答 解：∵在锐角三角形ABC中，27（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）=104cosC，
∴利用余弦定理可得：27（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）=27×$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}}{ab}$=104×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a²+b²=$\frac{52}{25}$c²．
∴利用正弦定理可得：$\frac{sinC•tanC}{sinA•sinB}$=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinBcosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$=$\frac{2{c}^{2}}{\frac{27{c}^{2}}{25}}$=$\frac{50}{27}$．
故答案为：$\frac{50}{27}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦定理的综合应用，属于基础题．