题目内容

15．已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求不等式ax2-（c+b）x+bc＜0的解集．

分析 （Ⅰ）由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（Ⅱ）把a、b的值代入化简不等式，讨论c的值，求出对应不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根，
由根与系数的关系，得$\left\{{\begin{array}{l}{-2+1=-\frac{1}{a}}\\{-2•1=\frac{b}{a}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$；…（4分）
（Ⅱ）由a=1、b=-2，不等式可化为x2-（c-2）x-2c＜0，
即（x+2）（x-c）＜0；…（6分）
则该不等式对应方程的实数根为-2和c；
所以，①当c=-2时，不等式为（x+2）2＜0，它的解集为∅；…（8分）
②当c＞-2时，不等式的解集为（-2，c）；…（10分）
②当c＜-2时，不等式的解集为（c，-2）．…（12分）

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了转化法与分类讨论思想的应用问题，是基础题目．

练习册系列答案
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5．（文）下列四个命题中真命题的序号是①③④．
①5≥4；②函数f（x）=x3+x2是增函数，且值域是R；③$\sqrt{2}$不是有理数；④方程x2-2=0的根是$\sqrt{2}$，或方程的根是$-\sqrt{2}$．
6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+$\sqrt{3}$y=0垂直，且C的一个焦点到l的距离为2，则C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1；该双曲线一个焦点到渐近线的距离为2$\sqrt{3}$．
3．函数y=$\frac{2}{x}$的单调减区间为（　　）
A．RB．（-∞，0）∪（0，+∞）C．（-∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）
10．已知A、B分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设C、D是椭圆上的两点，OC⊥OD，求三角形OCD面积的最小值．
20．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$（a为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2．
（1）分别求出曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离为1，求满足这样条件的点P的个数．
7．在空间平移△ABC到△A1B1C1（使△A1B1C1与△ABC不共面），连接对应顶点，设$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{c}$，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$的结果是$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$．
4．设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤$\frac{π}{6}$时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，1）B．（0，$\frac{1}{2}$）C．（-∞，2）D．（-∞，1）
5．已知x＞$\frac{1}{2}$，则函数f（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}-2x+\frac{11}{4}}$的最小值是-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．

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