Question

已知椭圆的中心在原点，离心率为

2

2

，若F为左焦点，A为右顶点，B为短轴的一个端点，求tan∠ABF的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，根据椭圆中的参数的意义，可以设OF=c，OA=a，OB=b，然后，根据tan∠ABF=-tan（∠BAF+∠BFA），求解tan∠ABF的值．

解答： 解：设OF=c，OA=a，OB=b，
∴tan∠BAF=

OB

OA

=

b

a

，
tan∠BFA=

OB

OC

=

b

c

，
∵tan∠ABF=-tan（∠BAF+∠BFA）
=-

b a + b c

1- b2 ac

=-

bc+ab

ac-b2

∵e²=

c2

a2

=

1

2

，
∴a²=2c²，
∵b²=a²-c²=c²
∴ca=

2

b²，
∴tan∠ABF=-

b2+ 2 b2

2 b2-b2

=-3-2

2

．
∴tan∠ABF的值-3-2

2

．

点评：本题重点考查了椭圆的简单几何性质、两角和与差的正切公式等，属于中档题．理解清晰椭圆中的参数的几何意义是解题的关键．