Question

已知幂函数f（x）=（m-1）²x m2-4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B⊆A，求实数K的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，
（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得：（m-1）²=1，
解得m=0或m=2
当m=2时，f（x）=x^-2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．         
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=[2-k，4-k]，
∵A∪B⊆A，
∴

2-k≥1 4-k≤4

解得，0≤k≤1
故实数K的取值范围为[0，1]

点评：本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．