Question

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x₁，x₂（x₁≠x₂），总有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有

 

．
①f（x）=

2x+2014

3x+7

，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x₁，x₂∈（0，

π

2

）且x₁≠x₂，则有tan（

x1+x2

2

）＞

1

2

（tanx₁+tanx₂）
③f（x）=-x³+3x²在区间[1，2014]上是严格下凸函数．
④f（x）=

1

6

x³+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

））是严格下凸函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据严格下凸函数的充要条件，求f^∥（x）＞0恒成立即可．

解答： 解：①因为f（x）=

2x+2014

3x+7

=

2 3 (3x+7)+2014- 14 3

3x+7

=

2

3

+

6028

9x+21

，
所以f'（x）=-

6028×9

(9x+21)2

=-

6028

(3x+7)2

，
所以f″（x）=

2×3×6028

(3x+7)3

，
当x∈[0，2014]时，f″（x）＞0恒成立，所以①正确．
②若x₁=

π

3

，x₂=

π

6

，则

1

2

（tanx1+tanx2）=

1

2

（tan

π

3

+tan

π

6

）=

1

2

（

3

+

3

3

）=

2 3

3

，
而tan（

x1+x2

2

）=tan

π 3 + π 6

2

=tan

π

4

=1，
所以有tan（

x1+x2

2

）＞

1

2

（tanx₁+tanx₂）不成立，所以②错误．
③因为f（x）=-x³+3x²，则f'（x）=-3x²+6x，f^∥（x）=-6（x-1＜0在[1，2014]上恒成立，
∴f（x）=-x³+3x²在区间[1，2014]上不是严格下凸函数，所以③错误．
④若f（x）=

1

6

x³+sinx，则f'（x）=

1

2

x²+cosx，f^∥（x）=x-sinx，当x∈[

π

6

，

π

3

]，
设y=x-sinx，则y'=1-cosx≥0，所以函数f^∥（x）=x-sinx单调递增，
所以f^∥（

π

6

）=

π

6

-sin

π

6

=

π

6

-

1

2

＞0，所以f（x）=

1

6

x³+sinx，（x∈（

π

6

，

π

3

）是严格下凸函数，所以④正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的运算能力，综合性较强．正确理解新定义是解决本题的关键．