Question

设a＞0，b＞0，求证：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：利用分析法，灵活利用基本不等式的性质，即可得证．

解答： 证明：证法一：要证：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

，
即证：a+b≥

a2+b2 2

+

ab

，
即证：a2+b2+2ab≥

a2+b2

2

+ab+2

ab• a2+b2 2

即证：

a2+b2

2

+ab≥2

ab• a2+b2 2

由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证．
证法二：要证：

a+b

2

-

ab

≥

a2+b2 2

-

a+b

2

即证：

( a-b 2 )2

a+b 2 + ab

≥

( a-b 2 )2

a2+b2 2 + a+b 2

由基本不等式

ab

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
可得上式成立，故原不等式得证．

点评：本题主要考查了证明问题的方法，分析法，关键是掌握不等式的基本性质，属于中档题．