Question

如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面
α分别与直线BC，AD相交于点G，H，下列判断中：
①对于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH；
②存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点或相互平行；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．
其中正确的序号是（　　）

• A、①③④
• B、③④
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，即可判断；
②不存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上，即可判断；
③取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD，若GF，EH相交于M，则由公理2和公理1，可得BD也过点M．即可判断；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．

解答： 解：①分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，
且AD与BC到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，
都有S_△EFG=S_△EFH．故①对；
②不存在一个平面α₀，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上，
故②错；
③取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH∥BD；若GF，EH相交于M，则由公理2和公理1，可得BD也过点M，因此③正确；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，由①可以证明几何体AC-EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．
综上可知：只有①③④正确．
故选A．

点评：本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．