Question

如图，四棱锥E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）求直线DE与AC所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知中ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，根据面面垂直的性质可得BC⊥平面EAB，进而根据线面垂直的性质得到BC⊥EA，同理BF⊥EA，由线面垂直判定定理可得EA⊥平面EBC，再由线面垂直的性质即可得到AE⊥BE；
（2）设O为AB的中点，连接EO，可证得EO为三棱锥E-ADC的高，求出三棱锥的底面面积和高的长度，代入棱锥体积公式，即可求出答案．
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线DE与AC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（1）∵ABCD是矩形，
∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA?平面EAB，
∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA?平面ACE，
∴BF⊥EA，
∵BC∩BF=B，BC?平面EBC，BF?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE?平面EBC，
∴EA⊥BE．
解：（2）∵EA⊥BE，
∴AB=

AE2+BE2

=2

2

，
S_△ADC=

1

2

×AD×DC=

1

2

×BC×AB=2

2

，
设O为AB的中点，连接EO，
∵AE=EB=2，
∴EO⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E-ADC的高，且EO=

1

2

AB=

2

，
∴V_D-ABC=V_E-ADC=

1

3

•S_△ADC×EO=

4

3

．
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
则E（

2

，0，0），C（0，

2

，2），A（0，-

2

，0），D（0，-

2

，2），

∴

DE

=(

2

，

2

，-2)；

AC

=(0，2

2

，2)
设直线DE与AC所成的角的大小为θ，
∴cosθ=

| DE • AC |

| DE |•| AC |

=0
所以直线DE与AC所成的角为90⁰…（12分）

点评：本题考查的知识点是异面直线的夹角，棱锥的体积，平面与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化及辩证关系是解答本题的关键．