Question

（1）log

1

2

4+(-8)

2

3

=

 

．
（2）已知函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如右图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为

1

12

，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：定积分,有理数指数幂的化简求值,指数式与对数式的互化

专题：导数的概念及应用

分析：（1）根据指数幂和对数的运算法则进行计算即可．
（2）根据函数与x轴在原点处相切，求出a，b的取值情况，然后根据积分的几何意义即可求解．

解答： 解：（1）log

1

2

4+(-8)

2

3

=log

1

2

(

1

2

)-2+

3	(-8)2

=-2+

3	64

=-2+4=2．
（2）∵f（x）=-x³+ax²+bx，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b，
∵f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如右图所示，它与x轴在原点处相切，
∴f'（0）=0，即b=0，
∴f（x）=-x³+ax²，
由f（x）=-x³+ax²=0得，x=0或x=a，（a＜0）．
根据积分的几何意义可知阴影部分的面积S=

∫

0 a

(0-f(x))dx=

∫

0 a

(x3-ax2)dx=(

1

4

x4-

1

3

ax3)

|

0 a

=

1

3

a4-

1

4

a4=

1

12

a4=

1

12

，
解得a=-1或a=1（舍去）．
故答案为：2，-1

点评：本题主要考查导数的应用以及利用积分求阴影部分的面积问题，考查学生的计算能力．