Question

已知函数f（x）=|x-a|
（1）若不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，求a，b的值
（2）若不等式f（x+a+2）+f（x）≤4的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）f（x）≤b可化为|x-a|≤b，可得不等式的解集，利用不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，建立方程组，可求a，b的值；
（2）不等式f（x+a+2）+f（x）≤4等价于不等式|x+2|+|x-a|≤4，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）≤b可化为|x-a|≤b，
∴a-b≤x≤a+b，
∵不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，
∴

a-b=1 a+b=5

，
∴a=3，b=2；
（2）不等式f（x+a+2）+f（x）≤4等价于不等式|x+2|+|x-a|≤4，
由绝对值的意义可得，|x+2|+|x-a|表示数轴上的x对应点与-2，a的距离的和，其最小值为|2+a|，
∴|2+a|≤4，
∴-6≤a≤2．

点评：本题考查不等式的解法，考查学生分析转化问题的能力，正确转化是关键．