Question

已知关于x的方程|x²-2x|+m=0（m≤0）的解集为M，则集合M中所有的元素的和的最大值为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：数形结合可得，函数y=|x²-2x|的图象（红线）和直线 y=-m（蓝线）至多有4个交点，且这4个交点关于直线x=1对称，此时，方程的解集M中所有的元素的和的最大值，再利用二次函数的性质求得集合M中所有的元素的和的最大值．

解答： 解：由题意可得方程即|x²-2x|=-m，故函数y=|x²-2x|的图象（红线）和直线 y=-m（蓝线）有交点．
由于m≤0，∴-m≥0，如图所示：
函数y=|x²-2x|的图象（红线）和直线 y=-m（蓝线）至少有2个交点，且这两个交点关于直线x=1对称，
此时，方程的解集M中所有的元素的和的最小值为2．
函数y=|x²-2x|的图象（红线）和直线 y=-m（蓝线）至多有4个交点，且这4个交点关于直线x=1对称，
此时，方程的解集M中所有的元素的和的最大值为2+2=4，
故答案为：4．

点评：本题主要考查方程解的个数判断，二次函数的性质，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．