Question

【题目】如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部是个半圆，固定点为的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.

（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；

（2）当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？

Answer 1

【答案】（1），（2）当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.

【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可．

（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．

试题解析：

解：（1）当时，过作于（如下图），

则， ， ，

由，得，

∴，

∴ ；

当时，过作于，连接（如下图），

则， ，

∴，

∴，

综上： ；

（2）当时， 在上递减，

∴；

2°当时， ，

当且仅当，即时取“=”，

∴，此时，∴的最大值为，

答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.