题目内容
【题目】已知,设函数
,
(1)存在,使得
是
在
上的最大值,求
的取值范围;
(2)对任意
恒成立时,
的最大值为1,求
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析: (2,),对
讨论,分①当
时, ②当
时, ③当
时, ④当
时,求出单调区间,极值,进而确定最值,解不等式,即可得到t
的范围;
(2)运用参数分离,得对任意
恒成立,令
,
,由于
的最大值为1.则
恒成立.
对二次求导,求出单调区间,求出极值和最值,判断
的单调性,即可得到
的范围.
试题解析:(1),
①当时,
在
上单调递增,在
单调递减,在
单调递增,
∴,由
,得
,
在
时无解,
②当时,不合题意;
③当时,
在
单调递增,在
递减,在
单调递增,
∴即
,∴
,
④当时,
在
单调递增,在
单调递减,满足条件,
综上所述:时,存在
,使得
是
在
上的最大值.
(2)对任意
恒成立,
即对任意
恒成立,
令,
,
根据题意,可以知道的最大值为1,
则恒成立,
由于,则
,当
时,
,
设则
,
,得
,
,
则在
上递减,在
上递增,则
,
∴在
上是增函数.
∴,满足条件,∴
的取值范围是
.
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