题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,短轴长为2,O为原点,直线AF与椭圆C的另一个交点为B,且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点,若在椭圆C上存在点R,使OPRQ为平行四边形,求m的取值范围.

【答案】
(1)解:短轴长为2,可得b=1,

即有A(0,1),设F(c,0),B(x0,y0),

△AOF的面积是△BOF的面积的3倍,

即为 c1=3 c|y0|,

可得y0=﹣ ,由直线AF:y=﹣ +1经过B,

可得x0= c,即B( c,﹣ ),代入椭圆方程可得,

+ =1,即为a2=2c2,即有a2=2b2=2,

则椭圆方程为 +y2=1


(2)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),

由OPRQ为平行四边形,可得x1+x2=xR,y1+y2=yR

R在椭圆C上,可得 +(y1+y22=1,

即为 +(k(x1+x2)+2m)2=1,

化为(1+2k2)((x1+x22+8km(x1+x2)+8m2=2,①

可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

由△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,即为1+2k2>m2,②

x1+x2=﹣ ,代入①可得 +8m2=2,

化为1+2k2=4m2,代入②可得m≠0,

又4m2=1+2k2≥1,解得m≥ 或m≤﹣

则m的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞)


【解析】(1)由题意可得b=1,A(0,1),设F(c,0),B(x0 , yspan>0),运用三角形的面积公式可得y0=﹣ ,再由直线AF的方程经过B,可得B的坐标,代入椭圆方程,解得a,b,进而得到椭圆方程;(2)设P(x1 , y1),Q(x2 , y2),由OPRQ为平行四边形,可得x1+x2=xR , y1+y2=yR , R在椭圆C上,代入椭圆方程,再由直线l与椭圆方程联立,运用韦达定理和判别式大于0,化简整理,解不等式即可得到所求m的范围.

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