Question

设f（x）=|2x-1|+|1-x|．
（1）解不等式f（x）≤3x+4；
（2）对任意的x，不等式f（x）≥（m²-3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；
（2）分x=0与x≠0两种情况研究：当x=0时，显然成立；当x≠0时，两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．

解答： 解：（1）当x≤

1

2

时，原不等式可化为-（2x-1）-（x-1）≤3x+4，解得x≥-

1

3

，故此时-

1

3

≤x≤

1

2

；
当

1

2

＜x≤1时，原不等式可化为2x-1-（x-1）≤3x+4，解得x≥-2，故此时

1

2

＜x≤1；
当x＞1时，原不等式可化为2x-1+x-1≤3x+4，即-2≤4，显然成立，故此时x＞1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≥-

1

3

}．
（2）当x=0时，原不等式为2≥0，显然恒成立；
当x≠0时，原不等式两边同除以|x|，则不等式可化为：
|2-

1

x

|+|

1

x

-1|≥m2-3m+3恒成立．
因为|2-

1

x

|+|

1

x

-1|≥|(2-

1

x

)+(

1

x

-1)|=1．
所以要使原式恒成立，只需m²-3m+3≤1即可，即m²-3m+2≤0．
解得1≤m≤2．

点评：本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题的解题思路，一般的不等式恒成立问题要转化为函数的最值问题来解．本题还考查了分类讨论思想的应用．