Question

函数f（x）=log_a

m-x

1+x

是奇函数，且在区间（a，b）内的值域为（1，+∞），则a+b=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题先通过函数的奇偶性，求出参数m的值，再利用分类讨论，对函数的单调性进行研究，得到函数的值域，根据条件中函数的值域，得到对应的方程，解方程，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=log_a

m-x

1+x

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴loga

m+x

1-x

=-log_a

m-x

1+x

，
∴

m+x

1-x

=

1+x

m-x

，
∴m²=1，
当m=-1时，

m-x

1+x

=

-1-x

1+x

=-1＜0，不合题意，舍去，
∴m=1．
∴函数f（x）=log a

1-x

1+x

=log a(-1+

2

x+1

)，x∈（-1，1）
当a＞1时，
若x∈（a，b）与函数f（x）定义域（-1，1）矛盾，
∴不合题意．
当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（-1，1）单调递增，
∵函数f（x）在区间（a，b）内的值域为（1，+∞），
∴

f(a)=1 b=1

，
a=

2

-1，
∴a+b=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性和函数值域，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的综合性，属于中档题．