Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（-

1

2

，

3

），且离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设E，F是椭圆C上的两点，线段EF的垂直平分线与x轴相交于点P（t，0），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）通过椭圆经过点A(-

1

2

，

3

)，以及离心率，求出a²=4，b²=1，即可得到椭圆C的标准方程．
（2）设E、F、EF的中点Q的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），利用|PE|=|PF|，P（t，0），求出t，通过E、F两点在椭圆C上，得到t=-

3(x1+x2)

2

=-3x0，利用1＜x₀＜1，求出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆经过点A(-

1

2

，

3

)
∴

3

a2

+

1

4b2

=1…①…（1分）
∵e=

3

2

∴

c

a

=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²…②…（3分）
解①、②得，a²=4，b²=1…（5分）
∴椭圆C的标准方程为C：

y2

4

+x2=1…（6分）
（2）设E、F、EF的中点Q的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀）
∵线段EF的垂直平分线与x轴相交
∵EF不平行于y轴，即x₁≠x₂…（7分）
由已知，得|PE|=|PF|，且P（t，0）
∴

(x1-t)2+y12

=

(x2-t)2+y22

…（8分）
化简，得  t=

y22-y12

2(x2-x1)

+

x1+x2

2

…（9分）
∵E、F两点在椭圆C上
∴y12=4-4x12，y22=4-4x22…（10分）
∴t=-

3(x1+x2)

2

=-3x0…（11分）
又∵-1＜x₀＜1
∴-3＜t＜3…（13分）
即实数t的取值范围是（-3，3）…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．