Question

等差数列{a_n}与等比数列{b_n}（n∈N^*）满足：a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₄=b₄+1．
（1）求它们的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n且有a_n＞0，数列{c_n}满足c_n=λ•b_n+1-S_n，λ是不为0的常数．证明：λ＞2是数列{c_n+1-c_n}是递增数列的充要条件．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用待定系数法，求出d=q=±

3

，即可求等差数列{a_n}与等比数列{b_n}的通项公式；
（2）c_n+1-c_n=λ（b_n+2-b_n+1）-a_n+1=（

3

-1）λ•(

3

)n-1-

3

n＞0，可得λ＞

1+ 3 n

( 3 -1)•( 3 )n

，即可证明结论．

解答： （1）解：设公差为d，公比为q，则，
∵a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₄=b₄+1，
∴1+d=q+1，1+3d=q³+1，
∴d=q=±

3

，
∴a_n=1±

3

（n-1），b_n=(±

3

)n-1；
（2）证明：由（1）知a_n=1+

3

（n-1），b_n=(

3

)n-1
∵c_n=λ•b_n+1-S_n，
∴c_n+1-c_n=λ（b_n+2-b_n+1）-a_n+1=（

3

-1）λ•(

3

)n-1-

3

n＞0
∴λ＞

1+ 3 n

( 3 -1)•( 3 )n

，
∵n∈N^*，∴

1+ 3 n

( 3 -1)•( 3 )n

≤2，
∴λ＞2，即λ＞2是数列{c_n+1-c_n}是递增数列的充要条件．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查充要条件的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．