Question

若数列{a_n}前n项和可表示为S_n=2ⁿ+a，则{a_n}是否可能成为等比数列？若可能，求出a值；若不可能，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：首先利用前n项和Sn=2n+a整理出an=2n+a-2n-1-a=2n-1，进一步利用特殊项求出a的值，最后利用分类讨论说明结论：当a=-1时，数列{a_n}成等比数列，首项为1，公比为2，当a≠-1时，{a_n}不是等比数列．

解答： 解：因{a_n}的前n项和Sn=2n+a，故a₁=S₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
an=2n+a-2n-1-a=2n-1（n≥2），
要使a₁适合n≥2时的通项公式，则必有：2+a=2°则：a=-1，
此时an=2n-1(n∈N+)，
q=

an+1

an

=

2n

2n-1

=2，
故当a=-1时，数列{a_n}成等比数列，首项为1，公比为2，当a≠-1时，{a_n}不是等比数列；
故答案为：当a=-1时，数列{a_n}成等比数列，首项为1，公比为2，
当a≠-1时，{a_n}不是等比数列．

点评：本题考查的知识点：求数列的方法：前n项和法，及相关的分类讨论问题．