Question

11．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α为参数，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），M是C₁上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，P点的轨迹为曲线C₂．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，直线l与曲线C₂相交于A、B．
（1）求曲线C₁、C₂的普通方程；   
（2）求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知得$ta{n}^{2}α=\frac{4}{{y}^{2}}$，代入$x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，能求出曲线C₁的普通方程，设P（x，y），推导出M（2x，2y），由此能求出C₂的普通方程．
（2）法一：由$\left\{\begin{array}{l}ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0\\ ρ{sin^2}θ=cosθ\end{array}\right.$，得ρsinθ=2，或ρsinθ=-1，由此利用S_△ABO=S_△ACO+S_△BCO能求出△ABO的面积．
法二：直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0$的直角坐标方程为x-y-2=0，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=x}\\{x-y-2=0}\end{array}}\right.$，得y²-y-2=0，由此能求出△ABO的面积．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α为参数，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），
∴${y}^{2}=\frac{4}{ta{n}^{2}α}$，∴$ta{n}^{2}α=\frac{4}{{y}^{2}}$，代入$x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，
化简得曲线C₁的普通方程：y²=2x，…（1分）
设P（x，y），P点满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，得M（2x，2y），…（3分）
∵M是C₁上的动点，∴（2y）²=2（2x）…（4分）
∴y²=x，即C₂的普通方程为y²=x（x＞0）…（5分）
（2）解法一：在极坐标系中，直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0$与极轴相交于C（2，0），…（6分）
曲线C₂的极坐标方程是ρsin²θ=cosθ（ρ≠0），…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0\\ ρ{sin^2}θ=cosθ\end{array}\right.$，得ρsinθ=2，或ρsinθ=-1…（8分）
设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），
∴${S_{△ABO}}={S_{△ACO}}+{S_{△BCO}}=\frac{1}{2}×2×|{ρ_1}sin{θ_1}|+\frac{1}{2}×2×|{ρ_2}sin{θ_2}|=3$…（10分）
解法二：直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0$的直角坐标方程为x-y-2=0…（6分）
且l与x轴交于D（2，0）…（7分）；
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=x}\\{x-y-2=0}\end{array}}\right.$，消元得y²-y-2=0，…（8分）；
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y₁+y₂=1，y₁•y₂=-2…（9分）
△ABO的面积S_△ABO=$\frac{1}{2}•OD•$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}•2•\sqrt{1+8}$=3…（10分）．

点评 本题考查曲线的普通方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．