Question

9．在四面体ABCD中，AB=CD=3，AC=BD=3，AD=BC=4，则该四面体的外接球的表面积为17π．

Answer 1

分析 由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，3，4为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．

解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以3，3，4为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，
并且x²+y²=9，x²+z²=9，y²+z²=16，
设球半径为R，则有（2R）²=x²+y²+z²=17，
∴4R²=17，
∴球的表面积为S=4πR²=17π．
故答案为：17π．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．