Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₅=25，{b_n}是递减的等比数列，且b₁=$\frac{1}{2}$，2（b₂+b₄）=5b₃
（Ⅰ）求a_n，b_n
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n} 的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）根据等差数列，等比数列的通项公式，求和公式列方程计算公差与公比，得出通项公式；
（II）利用错位相减法求和．

解答 解：（1）设{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，
则S₅=5a₁+10d=25，∴d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵2（b₂+b₄）=5b₃，∴2b₂（1+q²）=5b₂q．解得$q=\frac{1}{2}$ 或q=2 （舍去），
∴b_n=$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）∵${T_n}=1×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2^2}+…+（2n-1）×\frac{1}{2^n}$，①
∴$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+（2n-3）×\frac{1}{2^n}+（2n-1）×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+$$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
∴${T_n}=3-\frac{4}{2^n}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，错位相减法数列求和，属于中档题．