Question

18．已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧面积是（　　）

• A． $12\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{39}$
• C． 18
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 由三视图画出对应直观图，根据正三棱锥的结构特征判断出顶点V在底面上的射影，由图象和勾股定理求出三棱锥的高，再求出侧面上的高即斜高，由三角形的面积公式求出正三棱锥侧面的面积．

解答 解：由三视图画出直观图如图所示：
O是定点V在底面的射影，且O是正三角形ABC的中心，D是BC的中点，
由三视图可得，侧棱VA=4，AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，
则AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{3}）}^{2}-{（\sqrt{3}）}^{2}}$=3，
∴底面△ABC外接圆的半径OA=$\frac{2}{3}AD$=2，OD=1，
则VO=$\sqrt{V{A}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，VD=$\sqrt{V{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵VD⊥BC，∴斜高为$\sqrt{13}$，
则正三棱锥的侧面积S=$3×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{13}=3\sqrt{39}$，
故选：B．

点评 本题考查正三棱锥的三视图、结构特征的应用，正确画出直观图是解题的关键，考查空间想象能力和数形结合思想．