Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求函数y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x₀，使得g（x₀）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）化简三角函数式，利用正弦函数的单调性求单调区间；
（2）利用三角函数图象的变换规律得到函数y=g（x），然后证明．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}×\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
因为2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，∴kπ$-\frac{π}{12}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以函数y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间为[0，$\frac{5π}{12}$]；
（2）将函数向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sinx，g（x₀）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．即sinx＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以2kπ$+\frac{π}{3}$＜x＜2kπ$+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
则（2kπ$+\frac{2π}{3}$）-（2k$π+\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{3}$＞1，所以对任意的整数k都存在x₀∈（2kπ$+\frac{π}{3}$，2kπ$+\frac{2π}{3}$），k∈Z，
即存在无穷多个互不相同的整数x₀，使得g（x₀）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题看错了三角函数的化简以及三角函数的性质、图象变换；属于中档题．