Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（A，$\sqrt{3}$Acosωx），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{A}$+cos²ωx，sinωx）（A≠0，ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在区间[m，n]上单调，且|m-n|的最大值是$\frac{π}{2}$，函数f（x）的图象在y轴上的截距为$\frac{3}{2}$，则f（x）的一个对称中心为（　　）

• A． （-$\frac{π}{12}$，0）
• B． （-$\frac{π}{12}$，$\frac{5}{4}$）
• C． （-$\frac{5π}{12}$，0）
• D． （$\frac{5}{6}$π，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 利用数量积公式得出f（x）解析式，利用三角恒等变换化简，根据正弦函数的性质求出A，ω，得出对称中心．

解答 解：f（x）=1+Acos²ωx+$\sqrt{3}$Acosωxsinωx=1+$\frac{A}{2}$（1+cos2ωx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$Asin2ωx=1+$\frac{A}{2}$+Asin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵单调区间[m，n]的最大长度为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∵函数f（x）的图象在y轴上的截距为$\frac{3}{2}$，即f（0）=$\frac{3}{2}$，∴1+$\frac{A}{2}$+$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴A=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴当k=0时，（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5}{4}$）为f（x）的一个对称中心，
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与正弦函数的图象与性质，属于中档题．