Question

18．已知函数f（x）=|x-2m|-|x+m|（m＞0）．
（1）当m=2时，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）对于任意实数x，t，不等式f（x）≤|t+3|+|t-2|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．
（2）利用函数的恒成立，绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=|{x-2m}|-|{x+m}|=\left\{\begin{array}{l}-3m，x≥2m\\-2x+m，-m＜x＜2m\\ 3m，x≤-m\end{array}\right.$，
当m=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-6，x≥4}\\{-2x+2，-2＜x＜4}\\{6，x≤-2}\end{array}\right.$，
由不等式f（x）≥1，
可得：-2＜x＜4时：-2x+2≥1得-2＜$x≤\frac{1}{2}$，
所以不等式f（x）≥1的解集为$\{x|-2＜x≤\frac{1}{2}\}$．
（2）不等式f（x）≤|t+3|+|t-2|对任意的实数t，x恒成立，
等价于对任意的实数x，f（x）≤[|t+3|+|t-2|]_min恒成立，即[f（x）]_max≤[|t+3|+|t-2|]_min，
∵f（x）=|x-2m|-|x+m|≤|（x+m）-（x-2m）|=3m，|t+3|+|t-2|≥|（t+3）-（t-2）|=5，
∴3m≤5，又m＞0，∴0$＜m≤\frac{5}{3}$．

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查计算能力．