Question

已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρ=4cos（θ+

π

6

）和ρcos（θ+

π

6

）=5．
（1）将C₁，C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用两角和的余弦公式展开，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）求出圆心到直线的距离d，再利用d-r即可得出．

解答： 解：（1）由ρ=4cos(θ+

π

6

)得ρ=4(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)，ρ2=4(

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ)，
∴C₁的直角坐标方程为x2+y2-2

3

x+2y=0．
由ρcos(θ+

π

6

)=4得ρ(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)=5，
∴C₁的直角坐标方程为

3

x-y-10=0．
（2）曲线C₁是圆，标准方程为(x-

3

)2+(y+1)2=4，
圆心C1(

3

，-1)，半径r=2，
圆心C1(

3

，-1)到直线

3

x-y-10=0的距离d=

| 3 × 3 -(-1)-10|

3+1

=3，
|PQ|的最小值为d-r=1．

点评：本题考查了两角和的余弦公式、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．