Question

已知三棱锥A-BCD，平面α与棱AC、BC、BP、AD分别交于M、N、P、Q．
（1）若AB∥α，CD∥α，证明：四边形MNPQ为平行四边形；
（2）若四边形MNPQ为平行四边形，求证：AB∥α，CD∥α．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）运用直线与平面平行的性质定理，平行四边形的定义判断即可．
（2）四边形MNPQ为平行四边形得出QM∥PN，MN∥PQ，再运用直线与平面平行的判断与性质证明即可．

解答： 证明：

（1）在三棱锥A-BCD，
平面α与棱AC、BC、BP、AD分别交于M、N、P、Q．
∵AB∥α，AB?面ACB，面ACB∩面MNPQ=MN
∴AB∥MN，
同理AB∥PQ，
即MN∥PQ，
∵CD∥α，CD?面ACD，面ACD∩面MNPQ=QM，
∴CD∥QM，
同理CD∥PN，
即QM∥PN，
∴四边形MNPQ为平行四边形；
（2）∵四边形MNPQ为平行四边形，
∴QM∥PN，MN∥PQ，
∵PN?面ADC，QM?面ADC，
∴PN∥面ADC，
∵PN?面BDC，面BDC∩面ADC=DC，
∴DC∥PN，
∵DC?面MNPQ，PN?面MNPQ，
∴CD∥面MNPQ，
即CD∥α．
同理：AB∥面MNPQ，
即：AB∥α

点评：本题考察了直线与平面平行的性质，判定定理，平行四边形的性质，判定，综合考察了空间的线面的平行问题．