Question

椭圆

x2

4

+

y3

3

=1上有n个不同的点P₁、P₂、…、P_n，椭圆的右焦点为F，数列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差数列，则n的最大值是（　　）

• A、2 000
• B、2 006
• C、2 007
• D、2 008

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程求出a、b、c、e的值，再求出右焦点的坐标、右准线的方程，设P（x_n，y_n），根据圆锥曲线的统一定义、题意，列出x₁、x_n的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n的最大值．

解答： 解：由椭圆方程

x2

4

+

y3

3

=1得，a=4、b=

3

、c=1，
所以右焦点为F（1，0），离心率e=

1

2

，
设P（x_n，y_n），P到右准线x=4的距离为d_n=4-x_n，
根据圆锥曲线的统一定义得，

|PnF|

dn

=e=

1

2

，
所以|P_nF|=

1

2

（4-x_n）=2-

1

2

x_n，
因为数列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差数列，
所以|P_nF|-|P₁F|＞

n-1

1000

，
可得

1

2

x₁-

1

2

x_n＞

n-1

1000

，化简得x₁-x_n＞

n-1

500

，
结合椭圆上点的横坐标的范围，得x₁-x_n＜2a=4
所以

n-1

500

＜4，解得n＜2001，得n的最大值为2000，
故选：A．

点评：本题考查椭圆的几何性质，圆锥曲线的统一定义，等差数列的通项公式等，考查化简计算能力，属于中档题．