Question

12．过双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦点$F（2\sqrt{2}，0）$作渐近线垂线，垂足为A若△OAF的面积为2（O为坐标原点），则双曲线离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 S_△OAF=2，运用三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得a=b=2，即可得到双曲线离心率的值．

解答 解：在Rt△OAF中，$|{AF}|=c•sin∠AOF=c•\frac{b}{c}=b$，同理，|OA|=a，
∴${S_{△OAF}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{AF}|=\frac{1}{2}ab$，
又S_△OAF=2，∴ab=4，而$c=2\sqrt{2}$，即a²+b²=8，∴a=b=2，∴$e=\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线离心率的求法，考查三角形面积的计算，考查运算能力，属于基础题．