Question

17．已知函数f（x）=lnx+ax-x²（0＜a≤1）
（I）$a=\frac{1}{2}$时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的方程
（II）设函数f（x）单调递增区间为（s，t）（s＜t），求t-s的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用导数的几何意义求出切线的斜率f′（1），再计算f（1），代入点斜式方程化简即可；
（II）令f′（x）＞0可得2x²-ax-1＜0，根据二次函数的性质及根与系数的关系可得s=0，t=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，再利用函数单调性和a的范围得出t-s的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}+a-2x$，∴$f'（1）=a-1=-\frac{1}{2}$，
又$f（1）=a-1=-\frac{1}{2}$，
∴y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），即$y=-\frac{1}{2}x$．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{1+ax-2{x^2}}}{x}\;（{x＞0}）$，
令f′（x）＞0得2x²-ax-1＜0，
∵△=a²+8＞0，∴2x²-ax-1=0有两根x₁，x₂（x₁＜x₂），
又${x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}＜0$，
∴（s，t）=（0，x₂），则$t-s={x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$，
而$y=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$在（0，1]上单调递增，
∴a=1时，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$取得最大值1，
∴a=1时t-s取得最大值1．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．