Question

已知函数f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sinxcosx-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sinxcosx-2cos²x+1=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
则求f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]．k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的周期和单调区间的求解，利用三角函数的三角公式将函数化简是解决本题的关键．