Question

已知抛物线和椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（Ⅰ）求这两条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程解得p即可．由题意知椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），可得c．
对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|可得a．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）设AP的中点为C，l′的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l′于D，E两点，DE的中点为H．令A（x₁，y₁），C(

x1+3

2

，

y1

2

)，可得|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+ y 2 1

，|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|，利用垂经定理及其推论、勾股定理可得|DH|²=|DC|²-|CH|²=(a-2)x1-a2+3a．当a=2时，|DH|²为定值，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．
由题意知椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴c=1．
对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+22

=2+2

2

．
∴a=1+

2

，
∴b²=a²-c²=2+2

2

．
∴椭圆的方程为：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1．
（Ⅱ）设AP的中点为C，l′的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l′于D，E两点，DE的中点为H．
令A（x₁，y₁），C(

x1+3

2

，

y1

2

)，
|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+ y 2 1

，|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|，
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

1

4

[(x1-3)2+

y

2 1

]-

1

4

[(x1-2a)+3]2
=(a-2)x1-a2+3a．
∴当a=2时，|DH|²=2为定值．
∴|DE|=2|DH|=2

2

为定值．
此时l′的方程为：x=2．

点评：本题考查了抛物线及椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、直线与抛物线相交问题转、垂经定理及其推论、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．